移植する相手を指定することはできますか？

親族優先が可能です。
優先提供できる親族は、配偶者（※1）･子供（※2）･父母（※2）とされています。
ドナーとなりうる方が、生前に親族優先の意思を書面により表示しており、移植を受ける側も事前に移植希望登録されていることが前提となります。

（※1）婚姻届を出している方。いわゆる事実婚の方は含みません。
（※2）実の親子のほか、特別養子縁組による養子及び、養父母を含みます。